O problema de Collatz

Figura 1: 3x+1

Fonte: Problemas e Teoremas
Disponível em:<http://problemaseteroremas.wordpress.com/2008/06/03/sucesso-de-collatz-ou-problema-3x+1/>
Acesso em: set. 2013

Matemáticos acreditam que o alemão Lothar Collatz (1910-1990) propôs a conjectura 3x+1 na primeira metade do século 20. Embora alguns acreditem que foi proposto em 1937, não há documentos escritos sobre o problema até os anos 1970, nem certeza de quem originalmente o propôs. O problema, que também é conhecido por vários nomes e tratado aqui como o problema problema de Collatz, diz o seguinte:

Seja um número natural x não nulo que serve de ponto de partida para a lei: se x for ímpar a lei é 3x+1; se x for par, é x/2. 

Se uma pessoa aplicar essas leis sobre qualquer número natural não nulo e repeti-las sobre cada resultado obtido, em algum momento a pessoa chegará a 1 como resultado final.

Considere por exemplo, alguém que comece o processo pelo número 6, que é par, e faz a seguinte operação:

x=6

x/2=6/2= 3

Aplica então a operação para números ímpares sobre 3:

x=3

3x+1= 3(3)+1= 10

Como 10 é par, deve dividir o número por 2 para obter 5, e assim por diante. Após 8 iterações, a pessoa chega ao número 1, confirmando a conjectura para uma sequência iniciada pelo número 6:

(6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1)

Muitos matemáticos, como Walter Carnielli, tentaram e tentam resolver esse problema, que é chamado de muitas maneiras: problema de Siracusa, conjectura de Ulam, problema de Kakutani. Eles também já fizeram algumas mudanças na conjectura original, para incluir inteiros negativos como o primeiro x. Porém, ainda há poucas certezas afirmadas pelos estudiosos, e o porquê do problema permanece desconhecido.  

Fonte: O problema 3x+1. Cálculo. São Paulo, n.25, p.23, fev. 2013.