O problema de Collatz

Figura 1: 3x+1

Fonte: Problemas e Teoremas
Disponível em:<http://problemaseteroremas.wordpress.com/2008/06/03/sucesso-de-collatz-ou-problema-3x+1/>
Acesso em: set. 2013

Matemáticos acreditam que o alemão Lothar Collatz (1910-1990) propôs a conjectura 3x+1 na primeira metade do século 20. Embora alguns acreditem que foi proposto em 1937, não há documentos escritos sobre o problema até os anos 1970, nem certeza de quem originalmente o propôs. O problema, que também é conhecido por vários nomes e tratado aqui como o problema problema de Collatz, diz o seguinte:

Seja um número natural x não nulo que serve de ponto de partida para a lei: se x for ímpar a lei é 3x+1; se x for par, é x/2. 

Se uma pessoa aplicar essas leis sobre qualquer número natural não nulo e repeti-las sobre cada resultado obtido, em algum momento a pessoa chegará a 1 como resultado final.

Considere por exemplo, alguém que comece o processo pelo número 6, que é par, e faz a seguinte operação:

x=6

x/2=6/2= 3

Aplica então a operação para números ímpares sobre 3:

x=3

3x+1= 3(3)+1= 10

Como 10 é par, deve dividir o número por 2 para obter 5, e assim por diante. Após 8 iterações, a pessoa chega ao número 1, confirmando a conjectura para uma sequência iniciada pelo número 6:

(6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1)

Muitos matemáticos, como Walter Carnielli, tentaram e tentam resolver esse problema, que é chamado de muitas maneiras: problema de Siracusa, conjectura de Ulam, problema de Kakutani. Eles também já fizeram algumas mudanças na conjectura original, para incluir inteiros negativos como o primeiro x. Porém, ainda há poucas certezas afirmadas pelos estudiosos, e o porquê do problema permanece desconhecido.  

Fonte: O problema 3x+1. Cálculo. São Paulo, n.25, p.23, fev. 2013. 

Dicas de estudo - Vestibular

Figura 1: Livros

Fonte: Universia
Disponível em:<http://vestibular.universia.com.br/o-que-estudar/>
Acesso em: Set. 2013

Estudar para o vestibular não costuma ser uma tarefa fácil para a maioria dos estudantes. Exige disciplina quanto aos horários e também esforço e dedicação. Sabe-se que para passar numa faculdade estará concorrendo com vários outros candidatos e que estar preparado é uma boa vantagem dentre os vestibulandos. 

Dicas:

1. Tempo: Divida seu tempo para estudo. Estude em horários intercalados de manhã e à tarde. Mas é claro, lembre-se de descansar e se alimentar direito;
2. Agenda: Anote um cronograma tanto de horários quanto de conteúdos que se quer estudar. Desta forma é mais fácil saber o que já foi estudado e não perder tempo;
3. Qualidade: É importante concentrar-se em cada conteúdo por passo de estudo. Além disso, é preciso estar atualizado pois "conhecimentos gerais" são exigidos em vestibulares;
4. Dormir: Dormir é primordial, uma vez que ficar exausto não ajudará em nada para o aprendizado;
5. Aulas: Não falte aulas! Dados indicam que estudantes mais  assíduos e participativos na escola costumam sair melhor nas provas;
6. Conhecimento: Estude diferentes áreas e assuntos. Quanto mais conhecimento adquirir até a avaliação, melhor;
7. Local: Procure estudar em ambientes tranquilos e que tragam o mínimo de distrações possíveis;
8. Treino: Treine ao máximo a avaliação com modelos anteriores e outros vestibulares;
9. Redação: Adquira o hábito de leitura, que além de trazer conhecimento, enriquece o vocabulário. E também escreva o maior número de redações que conseguir;
10. Simulação: Tente simular quantas vezes possível a situação da prova. Assim no dia do vestibular você saberá racionar o seu tempo.

Mãos à obra, ou melhor, aos estudos!

Cérebro e sua análise da visão

Figura 1: Cérebro e funções gerais

Fonte: Mega Curioso

Disponível em:<http://www.megacurioso.com.br/neurociencia/34509-mapa-mostra-como-o-nosso-cerebro-organiza-o-cotidiano.htm>

Acesso em: set. 2013

Os olhos de uma pessoa captam milhares de imagens todo dia. Como seu cérebro organiza tantas imagens? Para ter uma ideia, Alex Huth, pesquisador da Universidade da Califórnia em Berkeley, colocou cinco colegas para ver uma gravação com duas horas de videoclipes; enquanto cada um deles via a gravação, Alex obtinha imagens do cérebro por meio de ressonância magnética (do tipo fMRI). O aparelho de fMRI captou que regiões do cérebro "acendiam" (isto é, aqueciam mais que as regiões no entorno) conforme as imagens da gravação mudavam.

Feito isso, Alex usou regressão linear para determinar as correlações entre variáveis dependentes e variáveis explicativas, ou, em termos mais leigos, entre possíveis causas e efeitos. Descobriu que os objetos e as ações na gravação ativavam, de uma forma ou de outra, 30.000 locais no cérebro de cada participante. Ainda usando técnicas estatísticas, colocou na mesma categoria os objetos e as ações que acendiam mais ou menos as mesmas regiões do cérebro. Descobriu desse modo que o cérebro de seus colegas reúne os objetos e as ações em 1.700 categorias. Objetos e ações na categoria "movimentos", por exemplo, ativam uma região; mas aqueles na categoria "mudanças" ativam outra.

Figura 2: Mapa do cérebro humano

Fonte:  Blog O Mundo da Harpa Sagrada
Disponível em:<http://serieaharpasagrada.blogspot.com.br/2012/02/o-nosso-cerebro-decide-o-que-e-como.html>
Acesso em: set. 2013

Alex descobriu que esse mapa com 1.700 categorias ocupa mais ou menos 20% do cérebro. "Essa descoberta sugere que, em breve, imagens do cérebro podem indicar para que tipo de coisa a pessoa está olhando." Com esse tipo de informação, cientistas e engenheiros podem construir melhores interfaces entre homens e máquinas, por meio das quais a máquina sabe para onde o homem está olhando e daí pode deduzir, conforme o contexto, o que ele gostaria de fazer.

Fonte: Como o seu cérebro organiza o que você vê. Cálculo. São Paulo, n.25, p.10, fev. 2013.

Funções modulares imitadoras

Figura 1: Ramanujan

Fonte: Blog Master Zoro
Disponível em:<http://master-zoro.blogspot.com.br/2011/11/top-10-discoveries-made-in-dreams.html>
Acesso em: Set. 2013

Doente, acamado, o matemático indiano Srinivasa Ramanujan (1887 - 1920) escreveu uma carta a seu amigo inglês Godfrey Harold Hardy. Num dos parágrafos, descrevia um grupo de funções novas que se comportava mais ou menos como um grupo já conhecido de funções (chamadas de funções theta); o grupo novo, contudo, era bem diferente do grupo já conhecido. Não deu nenhuma indicação de como a ideia lhe surgiu, até porque, sendo um indiano devoto, Ramanujan acreditava que sua ideias matemáticas eram visões provocadas pela deusa Namagiri. Ramanujan não pôde explicar melhor sua visão, pois morreu pouco depois de escrever a carta - e seus leitores não entenderam direito do que ele estava falando. Centenas de matemáticos já publicaram centenas de artigos científicos sobre esse parágrafo, até que, em 2012, o matemático americano Ken Ono descobriu exatamente que tipo de ideia matemática Ramanujan tinha em mente.

Figura 2: Deusa Namagiri

Fonte: Blog Haaram
Disponível em:<http://haaram.com/CompleteArticle.aspx?aid=256831&In=ta>
Acesso em: Set. 2013

Ono, seus colegas e alguns de seus alunos descobriram que as funções modulares imitadoras (como ficaram conhecidas; em inglês, mock modular functions) dão valores muito diferentes das funções theta. Contudo, se o matemático pegar os resultados das funções modulares imitadoras e das funções theta, e fizer com os resultados certas operações matemáticas bem específicas, depois de vários passos a diferença entre os resultados acaba ficando  muito pequena - por exemplo, 4. Ono usa uma analogia: uma moeda mágica. Imagine que dois matemáticos: Jacobi, que representa as funções theta, e Ramanujan, que representa as funções modulares imitadoras. Ambos vão a uma loja, e pagam a mercadoria com uma moeda. A partir dali, cada moeda segue um trajetória distinta, passando cada uma por vilas, cidades e países distintos. Mas, a certa altura, a moeda mágica de Ramanujan passa a imitar o comportamento da moeda de Jacobi, e vai atrás dela como se perseguisse, e passa pelos mesmos caixas, pelos mesmo lugares até que as duas acabam no mesmo caixa da mesma loja ao mesmo tempo, uma a apenas 4 centímetros da outra.

Com o parágrafo de  Ramanujan agora bem explicado, diz Ono, os físicos terão mais uma ferramenta com a qual estudar buracos negros. Eles já usam funções theta para compreender certos tipos de buracos negros, chamados modulares, mas nem todo buraco negro é modular. Com as funções modulares imitadoras bem descritas, eles podem computar as características de buracos negros não modulares como se fossem modulares. "E de pensar", diz Ono, "que ninguém estava falando sobre buracos negros em 1920."

Figura 3: Buraco Negro

Fonte: UOL Notícias Ciência
Disponível em:<http://noticias.oul.com.br/ciencia/album/01/10/imagens-e-noticias-sobre-o-espaco-2013.htm>
Acesso em: Set. 2013

Fonte: Uma deusa indiana ajuda a explicar buracos negros. Cálculo. São Paulo, n.24, p.10, jan. 2013.